Nel calcolo differenziale a una variabile, l'integrale definito $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ rappresenta l'area netta sotto una curva. Man mano che passiamo alla terza dimensione, estendiamo questa logica per trovare il volume sotto una superficie $z = f(x, y)$.
1. La Definizione Formale
Definiamo l'integrale doppio di una funzione $f$ su un rettangolo chiuso $R = [a, b] \times [c, d]$ come il limite di una somma di Riemann doppia:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
dove $\Delta A = \Delta x \Delta y$ è l'area di un sottorettilangolo $R_{ij}$, e $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ è qualsiasi punto campione all'interno di $R_{ij}$.
1. Partizione Geometrica: Dividi $R$ in $m \times n$ sottorettilangoli $R_{ij}$ dove $x_i = a + i\Delta x$ e $y_j = c + j\Delta y$.
2. Approssimazione Solida: Per ogni $R_{ij}$, costruisci una colonna di altezza $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. Il volume $V$ del solido $S$ è approssimato da $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. Il Limite: Man mano che la griglia diventa infinitamente fine ($m, n \to \infty$), l'approssimazione converge al volume esatto.
2. Teorema del Valore Medio
Proprio come l'altezza media in una dimensione di una curva è $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, il valore medio di una superficie $z=f(x,y)$ su una regione $R$ è:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Questo $f_{ave}$ rappresenta l'altezza di un singolo parallelepipedo con base $R$ che contiene lo stesso volume del solido complesso sotto la superficie.